OK! Differensial parsial menurut saya sama seperti turunan pada umunya hanya bedanya ada pada jenis variabel yan digunakan, pada turunan biasa, variabel hanya sebatas satu buah variabel yang ingin diturunkan sedangkan pada turunan parsial variable selain variabel yang ingin diturukan dianggap sebagai konstan. Nah, udah paham, ini menurut pengertian saya sendiri, untuk pengertian resminya bisa di gugel sendiri yak. Soalnya malas untuk berpanjang lebar disini 😉

Diketahui fungsi $$ z = x^2y^5 + 3xy^4$$ turunkan secara parsial terhadap x!

$$\left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right) = x^2y^5 + 3xy^4 $$

yang artinya persamaan z diturunkan secara parsial terhadap x, maka y dianggap konstan.

$$
\begin{align}
\left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)
&= 1xy^5 + 1y^4 \\
&= xy^5 + y^4
\end{align}
$$

lagi…

Diketahui fungsi $$ z = x^2y^5 + 3xy^4$$ turunkan secara parsial terhadap x dan y!

$$\left( \dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} \right) = x^2y^5 + 3xy^4 $$

yang artinya fungsi z diturunkan secara parsial terhadap x dan y atau fungsi z diturunkan 2 kali terhadap x dan y

$$
\begin{align}
\left( \dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} \right)
&= 2.5xy^4 + 3.4y^3 \\
&= 10xy^4 + 12y^3
\end{align}
$$

Karena mungkin masih semester awal maka aplikasi dari differensial parsial ini digunakan dalam termodinamika, jadi disini hanya akan dibahas yang berkaitan dengan termodinamika saja,


$$ z=f(x,y, …, u) = z(x,y, …, u) $$

Persamaan diatas menyatakan bahwa fungsi y diturunkan secara total (turunan biasa) terhadap x ,y dan seterusnya maka persamaan differensial totalnya adalah

$$ dz = \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right) dx + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right) dy + … + \left( \dfrac{\partial z}{\partial u} \right) du$$

dari persamaan diatas dapat disimpulkan differensial total dari suatu fungsi adalah jumlah dari tiap-tiap turunan parsialnya. \( \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right) dx \) disebut turunan parsialnya.


Hubungan antara differensial parsial, misalnya

$$ z = f(x,y) $$

$$ dz = \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right) dx + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right) dy $$

dari persamaan diatan dapat kita tentukan nila \(x|y|z\) yang akan dianggap tetap. Misalkan kita pilih \(x\), jika \(x\) bernilai tetap maka \(dx = 0\), sehingga persamaan menjadi

$$ dz_x = 0 + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right) dy_x $$

dibagi dengan \(dz\) pada \(x\) tetap, karena yang dibuat tetap tadi adalah variabel \(x\), kita sebut (\(dz_x\))

$$ \dfrac{dz_x}{dz_x} = 0 + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right) \dfrac{dy_x}{dz_x} $$$$ 1 = \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)\cdot\left(\dfrac{\partial y}{\partial z}\right) $$

Bagaimana jika digunakan dengan \(y\) tetap? Ok daripada mengulang maka hasil yang didapatkan akan sama dengan cara sebelumnya, maka didapatkan

$$ 1 = \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)\cdot\left(\dfrac{\partial x}{\partial z}\right) $$

Bagaimana jika digunakan dengan \(z\) tetap? Nah hasilnya akan berbeda. Kita coba… Jika \(z\) bernilai tetap maka \(dz = 0\), sehingga persamaan menjadi

$$ 0 = \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right) dx_z + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right) dy_z $$

dibagi dengan \(dy\) pada \(z\) tetap, kita sebut (\(dy_z\)) (boleh dibagi juga dengan \(dx\) hasil akan sama saja)

$$
\begin{align}
0 &= \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right) \dfrac{dx_z}{dy_z} + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right) \dfrac{dy_z}{dy_z} \\
0 &= \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right) \cdot \left(\dfrac{\partial x}{\partial y}\right) + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right) \cdot 1 \\
– 1\cdot \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right) &= \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right) \cdot \left(\dfrac{\partial x}{\partial y}\right) \\
– 1 &= \left( \dfrac{\partial x}{\partial y} \right) \cdot \left(\dfrac{\partial y}{\partial z}\right)\cdot\left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)
\end{align} $$


Nah hubungan persamaan diatan merupakan asal usul dari hukum rantai atau saya bilang persamaan sakti yang sering digunakan pada termodinamika, yaitu:

$$ f(P, V, T) = \left( \frac{\partial P}{\partial V} \right)_{\!T}
\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_{\!P}
\left( \frac{\partial T}{\partial P} \right)_{\!V} $$

maka hubungannya

$$f(P, V, T) = \left( \dfrac{\partial P}{\partial V} \right)_{\!\!T} \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_{\!\!P} \left( \frac{\partial T}{\partial P} \right)_{\!\!V} = -1$$


Ringkasan

Dari ulasan diatas didapatkan persamaan atau sifat dari diferensial parsial yaitu

$$ 1 = \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)\cdot\left(\dfrac{\partial x}{\partial z}\right) $$

Intinya jika bertemu seperti itu maka hasilnya sama dengan 1


Dan juga…

$$ \left( \dfrac{\partial x}{\partial y} \right) \cdot \left(\dfrac{\partial y}{\partial z}\right)\cdot\left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right) = -1$$


Dan yang paling penting

$$ \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right) = \left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right) $$

(Nah, mana bedanya?  😡 ) Ok yang terakhir ini bercanda wkwk 😆