Complex numbers are numbers that consist of two parts — a real number and an imaginary number. Complex numbers are the building blocks of more intricate math, such as algebra. They can be applied to many aspects of real life, especially in electronics and electromagnetism.

Baru pembukaan aja udah bahasa inggris wkwk. Ok seperti itulah salah satu definisi dari bilangan kompleks, ingat ya semua isi dari blog ini bersifat eksperimental, jadi belum tentu benar dan belum tentu salah. Jadi disini saya kan menjelaskan dasarnya sesuai dengan apa yang saya rangkum ok.

Pengenalan

Darimana asal bilangan kompleks?

Kalian pasti sudah mengerti bahwa akar dari bilangan negatif adalah error (coba saja di kalkulator). Bukan berarti karena mengkasilkan error, nilai tersebut tidak dapat dikalkulasi. Maka dari itu untuk menyelesaikan perhitungan yang berkaitan dengan akar minus dikenalkanlah bilangan baru untuk pengganti dari akar minus dengan variabel \(i\) agar dapat dikalkulasi nilainya

Misal sederhanakan nilai dari \(\sqrt{-16}\)!

$$\sqrt{-16} = \sqrt{16} \sqrt{-1} = 4i$$

Mudah kan ya, tapi maksud saya disini adalah untuk menekankan bahwa \(i\) disini bukan berarti \(\sqrt{i} = \sqrt{-1}\) tapi

$$i = \sqrt{-1}$$

untuk operasi perhitungan akan sedikit berbeda

  • Penjumlahan/Pengurangan

    Sederhanakan \(3i+6i\)
    $$3i+6i = 9i = 9 \times \sqrt{-1} = \sqrt{-9}$$
    Akan sama juga dengan pengurangan, intinya sama seperti pengerjaan aljabar dan hasil akhirnya variabel \(i\) diganti dengan nilai \(\sqrt{-1}\).

  • Perkalian

    Sederhanakan \(3i\times 6i\)
    $$(3i)(-6i) = -18i^2 = 18 \times (\sqrt{-1})^2 = -18 \times -1 = 18$$
    Agar kalian benar benar pahan coba kerjakan soal dibawah ini, buka spoiler jika sudah selesai mengerjakan ya
    Sederhanakan \((1i)(3i)(2i)\)!
    $$\begin{align}
    (1i)(3i)(2i) &= (1\cdot 3\cdot 2)(i \cdot i \cdot i)\\
    &= (6)(i^2 \cdot i)\\
    &= (6)(-1 \cdot i)\\
    &= (6)(-i)\\
    &= -6i
    \end{align}$$
    Selamat ya yang udah bener, saya ada hadiah nih, ikuti link berikut 😉
    Dapat kalian ketahui bahwa nilai dari \(i^3 = -i\) bagaimana dengan \(i^4\)? ya benar nilainya akan sama dengan \(1\)
    $$i^4 = (i^2)(i^2) = (-1)(-1) = 1$$
    Bagaimana dengan \(i^{100}\), \(i^{0364}\), \(i^{2654567}\)? Aduch! gimana ini??? wkwk
    Sebenarnya gampang, pangkat dari \(i\) memiliki nilai berulang setiap 4 langkah
    $$ \begin{align}
    i^0 &= 1 \\
    i^1 &= i \\
    i^2 &= -1 \\
    i^3 &= -i \\
    i^4 &= 1 \\
    i^5 &= i \\
    i^6 &= -1 \\
    i^7 &= -i \\
    i^8 &= 1 \\
    i^9 &= i \\
    i^10 &= -1 \\
    dst.
    \end{align}$$
    Jadi tinggal cari aja nilai terdekat untuk pangkatnya, misal
    $$i^{2654567} = i^{265456+1} = i^1 = i$$
    Nilai \(265456\) habis dibagi \(4\) dan tinggal kita kalkulasi sisanya yaitu \(1\). Gampang kan? 😆

  • Pembagian

    Untuk pembagian yang ini sama saja ya

 


Bilangan Kompleks

OKE kita masuk ke bagian intinya. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari susunan berikut:

$$ Z = a + bi$$

Dengan \(Z\) disebut dengan bilangan kompleks yang terdiri dari \(a\) disebut dengan bagian riil dan \(bi\) disebut dengan bagian imajiner.  Coba kita oprek sedikit nih, saya kasih rahasia, misalkan nilai \(b\) adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut bukan bilangan kompleks lagi melainkan berubah menjadi bilangan real \(a\). Waw! 😮 Keren kan? Mirip ultramen! 😮

Operasi hitung

Sama saja ya seperti contoh sebelumnya, saya beri contoh lagi dah

Penjumlahan dan Pengurangan

Sederhanakan \((2 + 3i) + (1 – 6i)\)!

$$(2 + 3i) + (1 – 6i) = (2+1)+(3i-6i) = 3-3i$$

Sederhanakan \((2 + 3i) – (1 – 6i)\)!

$$(2 + 3i) – (1 – 6i) = (2-1)+(3i+6i) = 1-9i$$

Perkalian

Sederhanakan \((2 + 3i)(1 – 6i)\)!

$$ \begin{align}
(2 + 3i)(1 – 6i) &= (2 \cdot 1)+(2 \cdot (-6i)) + (3i \cdot 1) + (3i \cdot (-6i)) \\
&= 2 – 12i + 3i – 18i^2 \\
&= 2 – 9i – 18(-1) \\
&= 2 – 9i + 18 \\
&= 20 – 9i
\end{align}$$

Pembagian

Hal ini yang agak kompleks dari bilangankompleks. Contohnya:

Sederhanakan \(\dfrac{1+2i}{3-4i}\)!

Karena denominatornya (penyebut elah ?) merupakan bilangan kompleks maka kita harus mengalikannya dengan lawan dari penyebutnya yaitu \(3+4i\) atau yang disebut dari conjugate atau konjuget dari bilangan kompleks \(3-4i\). Konjuget berarti bagian imajiner dari bilangan kompleks \(bi\) yang dikalikan dengan \(-1\) contohnya: (contoh dalam contoh ?)

$$ \begin{align}
1i &\to -1i\\
6 &\to 6\\
-875764i &\to 875764i\\
4-5i &\to 4+5i\\
-4+5i &\to -4-5i\\
\end{align}$$

Paham kan? jadi tinggal dikalikan saja dengan konjugetnya. Kalian pasti mengetahui jika bilangan apapun jika dikalikan dengan bilangan 1 maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Jadi, tinggal dikalikan saja dengan bilangan \(\dfrac{3+4i}{3+4i}\) yang sama dengan bilangan \(1\)

$$\dfrac{1+2i}{3-4i} \times \dfrac{3+4i}{3+4i}$$

OK, contoh lagi nih, kalian menyadari bentuk ini kan \((a-bi)(a+bi)\) pada persamaan diatas? Coba kita kerjakan…

$$ \begin{align}
(a-bi)(a+bi) &= a^2 \cancel{+ abi} \cancel{- abi} – b^2i^2 \\
&= a^2 – b^2(-1)\\
&= a^2 + b^2
\end{align}$$

Maka penyelesaian dari soal menjadi:

$$\dfrac{1-6i}{2-3i} \times \dfrac{2+3i}{2+3i} = \dfrac{(1-6i)(2+3i)}{2^2 + (-3)^2}$$

OK tinggal selesaikan ? Oh iya jika nanti menemukan… Hmm… baiklah saya kerjakan, untuk cara perkalian pembilang, sama seperti contoh pada perkalian diatas, maka langsung saja ya

$$\begin{align}
\dfrac{1-6i}{2-3i} \times \dfrac{2+3i}{2+3i} &= \dfrac{(1-6i)(2+3i)}{2^2 + (-3)^2} \\
&= \dfrac{20-9i}{13}
\end{align}$$

Karena disini merupakan bilangan kompleks, maka bentuknya harus \(a+bi\) maka harus dilanjutkan hingga

$$\dfrac{20}{13} – \dfrac{9}{13}i$$

Paham kan ya?

Notasi

Bentuk Penjumlahan

Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner.

$$a+bi$$

Bentuk ini sama seperti apa yang telah dicontohkan diatas.

Bentuk Polar

Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem koordinat dua dimensi yang dinamakan bidang kompleks atau Diagram Argand. Koordinat Kartesius bilangan kompleks adalah bagian riil x dan bagian imajiner y, sedangkan koordinat sirkulernya adalah r = |z|. Pada notasi ini dapat dikombinasikan dengan persamaan Euler.

$$r=\sqrt{a^2+b^2}$$

$$tan \theta = \dfrac{b}{a}$$

maka

$$\begin{align}
z &= a+bi \\
&= r\cdot e^{i\theta} \\
&= r(cos \theta + i sin \theta) \\
&= r \cdot cis \theta
\end{align}$$

Dengan \(r\) merupakan panjang atau nilai vektor, \(\theta\) merupakan sudut yang dibentuk vektor dengan sumbu positif x, dan \(e^{i\theta}\) merupakan persamaan Euler. Karena persamaan Euler ini merupakan bentuk pangkat maka operasi-operasi pada bilangan kompleks ini dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk eksponensial. Oleh karena itu kita perlu mengetahui sifat-sifat dari eksponensial sekaligus logaritma.

Salah satunya yang paling dasar adalah persamaan Euler

$$ e^{i\theta} = cos \theta + i \cdot sin \theta$$

Nah kita oprek-opek nilai \(\theta\), coba kita ganti variabel \(\theta\) dengan \(\pi\) maka hasilnya adalah \(-1\) Waw! ? . Yaps, calculator aja ga mampu selesaiin lho… coba selesaikan secara manual dengan persamaan Euler diatas. Persamaan dibawah ini disebut dengan identitas Euler:

$$ \begin{align}
e^{i\pi} &= -1 \\
\pi i &= ln(-1)
\text{dan}\\
e^{i\frac{\pi}{2}} &= i \\
\dfrac{\pi}{2}i &= ln(i)
\end{align}$$

Memang benar, matematika itu memang keren deh pokoknya, dasar dari segala ilmu. FYI contohnya saja konstanta \(e\) disebut juga dengan bilangan natural. Mengapa? karena konon katanya berbagai macam hitungan terutama tetang fenomena alam (dalam teori-teori modern termasuk fisika) banyak memiliki kaitan dengan bilangan-bilangan kompleks dan merujuk ke \(e\). Konstanta \(e\) sediri juga banyak didefinisikan dari penjumlahan, perkalian, atau operasi hitung lain yang memiliki pola menuju tak hingga contohnya deret Taylor. Dapat disimpulkan bahwa \(e\) merupakan kunci perhitungan dari keteraturan, kesempurnaan yang ada di alam semesta ini. Jadi merinding…

Sifat sifat

Hubungan pangkat bilangan kompleks

$$a^b = e^{b \cdot ln(a)}$$

$$e^z = e^{a+bi}=e^a \cdot e^{bi}$$

Bilangan kompleks berpangkat

$$ \begin{align}
z^{\color{red}{f}} &= r^{\color{red}{f}} \cdot e^{i \theta\cdot \color{red}{f}}
&= r^{\color{red}{f}} \cdot (\color{red}{f} \cdot cos \theta+ \color{red}{f} \cdot i \cdot sin \theta)
\end{align}$$

Maksud dari \(\color{red}{f}\) adalah fungsi sembarang, misalnya saja bilangan kompleks \(a+bi\). Berlaku juga untuk persamaan dibawah ini dan seterusnya.

Hubungan antara \(sin\) dan \(cos\) bilangan kompleks

$$\begin{cases}
e^{i\theta} = cos \theta + i \cdot sin \theta \\
e^{-i\theta} = cos \theta – i \cdot sin \theta
\end{cases}$$

$$
cos(\color{red}{f}) = \dfrac{e^{i\cdot \color{red}{f}} + e^{-i\cdot \color{red}{f}}}{2}
$$

$$
sin(\color{red}{f}) = \dfrac{e^{i\cdot \color{red}{f}} – e^{-i\cdot \color{red}{f}}}{2i}
$$

Akan sama halnya dengan \(cos^2(\color{red}{f})\) dan  \(sin^2(\color{red}{f})\) menghasilkan:

$$cos^2(\color{red}{f}) + sin^2(\color{red}{f}) = 1$$

\(ln\) dari bilangan kompleks

$$ln(z) = ln(r\cdot e^{i\theta}) = ln(r) + i(\theta + 2n\pi)$$